哥德巴赫(1/2)

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    冬令营的轻松的日子很快就过去了，连续两天的结营考试才是重头戏。结营考试模拟imo的形式进行，连续考试两天，每天三题，总共六题，每题满分21分，总分126分。

    cmo的比赛已经有快十年没有出现过满分答卷了，实际上每场cmo都是出题老师和考生的斗智斗勇。试卷要兼顾区分度和难度，出题人既希望出现满分答卷又不希望出现满分答卷。出现满分答卷说明今年的冬令营人才辈出，也说明出题还不够精巧。

    近两年的imo团体金牌都被美国华裔选手包揽了，这让国家队的几个老头未免面子挂不住。所以这次的冬令营的题目难度相较于前两年更难，更注重数学思维的选拔。

    按照省份排考场，叶瑄和陈亦桐又被分到了一个考场，这意味着两个人新一轮的较量就开始了。这段时间陈亦桐的进步非常快，这让叶瑄有了危机感。她早就知道陈亦桐的天赋惊人，但是没想到这段时间进步这么神速，有时候两个人讨论问题，她快觉得招架不住陈亦桐的想法了。

    坐进考场，黑板上密密麻麻用粉笔写着考试纪律，特别明显用红色粉笔加粗了——不允许使用任何形式的辅助计算工具。实际上叶瑄一直觉得这个限制对于数学竞赛的意义不大，国外的amc不仅可以使用计算器，还可以直接使用编程计算器。但是国内目前还是认为手开方和手解超越方程仍然是数学能力的一种体现。

    叶瑄和陈亦桐两个人坐在位置上安静地折着草稿纸，等待着试卷下发。时钟指到13：55，准时开始下发试卷，以前这个时间点是叶瑄最困倦的时候，所以上午叶瑄干脆请假在宿舍睡觉，这个点精神百倍。

    试卷一发下来，叶瑄就愣住了，倒不是试卷有多么难，而是她意识到冥冥之中已经有东西开始改变了。她清楚地记得2009年cmo的第一题是一道数论题目，而现在变成了一道平面几何题目。前世她比陈亦桐晚两届参加cmo，在参加2011年cmo的时候她把前十年的题目都做了一遍，着重研究了近三年题目的出题风格，所以2009年cmo的题目她记忆非常深刻。

    叶瑄重生的蝴蝶翅膀已经开始扇动，慢慢改变了一些东西。叶瑄突然有了一种喜极而泣的感觉，故事的结局并不是一成不变的，这意味着陈亦桐的人生轨迹也有改变的可能。

    叶瑄拿着卷子发呆了五分钟，就连后排的陈亦桐都察觉了异常，连忙假装咳嗽提醒她考试开始了。

    陈亦桐的咳嗽声把叶瑄从思考中拉了出来，进入到对试卷的分析中。叶瑄通览了一遍卷子，她能感觉到这套题目背后的为难之意，这两年imo团体决赛金牌都不是中国队，确实该在试卷上加加压了。

    第一题的平面几何证明题，算是一道送分题了，只要找到了做辅助线的关键，这一道题十步之内就可以解决。如果实在没有思路，一般第一道平面几何都可以通过建立坐标系暴力解坐标来证明。所以第一道题一般很少有人会放弃。

    看到四点共圆的条件，叶瑄和陈亦桐立刻敏锐地察觉了这一题需要取中点，再看证明乘积相等，很明显需要利用相似三角形的性质。这道题的思路很快就出来了，取四点共圆的重点构造证明相似三角形，证明乘积成立。

    第二问则是第一问的逆命题，假设emfn=enfm，是否一定有a,b,c,d四点共圆。如果说第一问是优秀的高中非竞赛生可以做出来的，那么第二问就区别了竞赛生和非竞赛生。

    着手证明这道题，首先要判断这道逆命题是否成立。对于竞赛生熟悉相似三角形的性质，一眼就知道不成立。对于不熟悉相似性质的，找一个特殊位置就可以证明了。怎么选择构造这个特殊位置方便证明，又可以体现出竞赛生和非竞赛生的区别了。

    如果在第一问选择了建系的方法把几何代数化的同学，第二问就要轻松许多了，直接给出坐标点就可以证明。如果选择构造的方法，这题的思路也是分别从头尾开始向中间证明。从头就是找哪个特殊位置，从尾就是四点不共圆应该怎么证明。

    以叶瑄的经验非常自然的就找到了ad平行于bc时最容易利用相似的性质证明不共圆，这是最简单的思路。陈亦桐没有选择平行线，而是选择了中点的构造方法。

    叶瑄先翻了页，陈亦桐也紧随其后。有些不擅长平面几何的同学从一开始就选择建系的方法，这样也不怎么浪费时间。比较亏的就是中途换方法的同学会耽误时间。

    第二道数论题目对于有经验的同学思路也非常明显，直接费马小定理就可以解出所有满足条件的素数解。但是这道题目的关键不在于怎么得出所有解，而在于如何得到满分。叶瑄就-->>

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